بالعودة إلى معادلة شرودنغر المستقلة عن الـزَّمن : 𝑯𝛙 = 𝑬𝛙 وال | ترجُمان العلوم | شوان حميد
بالعودة إلى معادلة شرودنغر المستقلة عن الـزَّمن :
𝑯𝛙 = 𝑬𝛙
والتي تعد من أشهر الأمثلة على الـ (𝑬𝒊𝒈𝒆𝒏𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒔) في ميكانيكا الكم، حيث تُسمَّى الـدَّالة الـموجيّة 𝛙 بالـ(𝑬𝒊𝒈𝒆𝒏𝒇𝒖𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏) وقيمة الطاقة المحددة 𝑬 بالـ(𝑬𝒊𝒈𝒆𝒏𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆) : حيث أن 𝛙 تحقق معادلة شرودنغر بطاقة محددة وهي 𝑬.
والآن، ماذا لو أثرنا بـمؤثرات السلم (₊𝒂) أو (₋𝒂) على 𝛙 ؟؟ هل سـيبقى لدينا نفس قيمة الطاقة 𝑬 ؟؟
لـنرى معًا نتيجة تطبيق مؤثر الرفع (₊𝒂) على 𝛙 :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = ℏ𝛚 [𝒂₊ 𝒂₋ + (𝟏/𝟐)] (𝒂₊𝛙)
حيث كما رأينا سابقًا، يمكننا كتابة المؤثر الهاملتوني باستخدام مؤثرات السلم إما :
𝑯 = ℏ𝛚 [𝒂₋ 𝒂₊ – (𝟏/𝟐)]
أو :
𝑯 = ℏ𝛚 [𝒂₊ 𝒂₋ + (𝟏/𝟐)]
كما لاحظت في ، قمنا باستخدام قيمة المؤثر الهاملتوني في ، هل من هدف لذلك؟؟
بالطبع،فـما من شيء نفعله من دون هدف وسبب...!
𝑯 (𝒂₊𝛙) = ℏ𝛚 [𝒂₊ 𝒂₋ + (𝟏/𝟐)] (𝒂₊𝛙)
سـنقوم بتوزيع مؤثر الرفع الموجود في أقصى اليمين على القوس المربع :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = ℏ𝛚 [𝒂₊ 𝒂₋ 𝒂₊ + 𝒂₊(𝟏/𝟐)] 𝛙
سنقوم الآن بأخذ مؤثر الرفع الموجود على أقصى اليسار في الحد الأول من القوس المربع ومؤثر الرفع في الحد الثاني من ذات القوس، كـعامل مشترك :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = ℏ𝛚𝒂₊ [𝒂₋ 𝒂₊ + (𝟏/𝟐)] 𝛙
وهذا هو سبب اختيارنا قيمة المؤثر الهاملتوني في المعادلة ، حيث أن ترتيب المؤثرات مهم جدًا كما تعلم بالطبع..
لـنقف قليلًا ولنحسب معًا قيمة المُبدِّل التالي :
[𝒂₋ , 𝒂₊] = 𝒂₋𝒂₊ – 𝒂₊𝒂₋
حيث حسبنا معًا سابقًا ناتج ضرب مؤثري الرفع والتخفيض، فـيُصبح لدينا :
[𝒂₋ , 𝒂₊] = 𝒂₋𝒂₊ – 𝒂₊𝒂₋ = 𝟏
ومنه :
𝒂₋𝒂₊ = 𝒂₊𝒂₋ + 𝟏
بالعودة لـ :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = ℏ𝛚𝒂₊ [𝒂₋ 𝒂₊ + (𝟏/𝟐)] 𝛙
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [ℏ𝛚 (𝒂₋ 𝒂₊ + (𝟏/𝟐))𝛙]
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [ℏ𝛚 (𝒂₊𝒂₋ + 𝟏 + (𝟏/𝟐))]𝛙
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [ℏ𝛚 (𝒂₊𝒂₋ + 𝟏 + (𝟏/𝟐))]𝛙
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [ℏ𝛚 (𝒂₊𝒂₋ +(𝟏/𝟐))+ℏ𝛚]𝛙
وبتذكرك ، يصبح لدينا :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [𝑯+ℏ𝛚]𝛙
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [𝑯𝛙+ℏ𝛚𝛙]
وباستذكار معادلة شرودنغر المستقلة عن الـزَّمن :
𝑯𝛙 = 𝑬𝛙
تصبح :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [𝑬𝛙+ℏ𝛚𝛙]
𝑯 (𝒂₊𝛙) = 𝒂₊ [𝑬+ℏ𝛚]𝛙
القوس المربع عبارة عن قيمة، أي يمكن لمؤثر الرفع أن يتجاوزه :
𝑯 (𝒂₊𝛙) = [𝑬+ℏ𝛚](𝒂₊𝛙)
ومنه قد ترى أنَّه عند تطبيق مؤثر "الرفع" على الـدَّالة الـموجيّة، الطاقة "سـتزداد" بقيمة ℏ𝛚.
قم بتجريب تطبيق مؤثر التخفيض (₋𝒂) على 𝛙، سـتحصل على :
𝑯 (𝒂₋𝛙) = [𝑬–ℏ𝛚](𝒂₋𝛙)
أي أنَّه عند تطبيق مؤثر "التخفيض" على الـدَّالة الـموجيّة، الطاقة "سـتنخفض" بقيمة ℏ𝛚..
ومن هنا قد تلاحظ سبب تسمية مؤثرات السلم (𝑳𝒂𝒅𝒅𝒆𝒓 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒐𝒓𝒔) بهذا الاسم
••••••••••••••••••••••••••••••••
• كتابة : زهوة المُعلَّا
• تدقيق : رغد أبو عبدون
••••••••••••••••••••••••••••••••
قناة على الـTelegram :
https://t.me/joinchat/RP62dBqwK0CuP8D3
#Physicist_Post
#On_way_to_let_you_love_Physics
