2021-08-31 20:41:43
قانون كيبلر الثاني
إستمراراً في الحديث عن بعض المبادئ الأساسية في الميكانيك الكلاسيكي، ولا سيما مبدأ حفظ الزخم الذي استفدنا منه سابقاً لوصف بعض الظواهر، في الحقيقة كانت إحدى الانجازات الكبرى في ميكانيك نيوتن انها قادرة على تفسير قانون كيبلر الثاني ببساطة تامة وذلك بالإعتماد على مبدأ حفظ الزخم الزاوي (The Conservation of Angular Momentum) . قبل ما يقارب المائة عام من نشر نيوتن لكتابه الشهير "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" قام كيبلر بنشر ثلاثة قوانين تصف حركة الكواكب بحيث أنها تختلف إختلافاً كلياً عما نشره نيوتن في كتابه، بحيث أن قوانين كيبلر هي عبارة عن أوصاف رياضية لحركة الكواكب المرصودة، أظن أنها مقدمة جيدة للخوض في الموضوع مباشرةً.
ينص قانون كيبلر الثاني على أن "الخط الواصل بين كوكب ما والشمس, يقطع مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية" (إنظر الى الصورة في الأسفل)، حسناً في هذه المرة سنعتمد حساباتنا بحيث أن الشمس ثابتة في إحدى بؤرتي هذا القطع الناقص والان بالنظر الى الشكل في الاسفل والذي يوضح دوران كوكب ما حول الشمس، فإن المساحة الناشة عن دوران هذا الكوكب من النقطة (P) الى النقطة (Q)، هي عبارة عن مساحة المثلث، والتي هي عبارة المساحة ما بين الخطين (OP) و (OQ) و القوس (PQ)، لكن في حال إعتبار النقطتين (P) و (Q) متناهيتين في القرب من بعضهما البعض (بالتالي يمكننا إعتبار أن القوس عبارة عن خط مستقيم)، وفي حال أن الكوكب يقطع النقطتين (P) و (Q) في الفترة الزمنية (dt) مكوناً المساحة (dA)، فإن قانون كيبلر الثاني ينص على أن لو أخذنا أي نقطتين إعتباطيتين على نفس المسار يفصل بينهما نفس المدة الزمنية أي أن:
𝒅t=𝒅t’
فإن المساحة ('OP’Q) تساوي المساحة (OPQ) أي أن:
𝒅A = 𝒅A’
أو بطريقة أخرى يمكننا القول بأن المعدل الزمني للتغير في المساحة الناشئة عن حركة الكوكب يساوي مقداراً ثابتاً:
𝒅𝑨/𝒅𝒕 = Constant
أو ان هذه الكمية (𝒅𝑨/𝒅𝒕) تعطي نفس المقدار عند كل النقاط على مسار هذا الكوكب، والأن هيا لنثبت ما يدّعيه قانون كيبلر الثاني. بإعتبار أن المتجه الواصل ما بين الشمس (O) والنقطة (P) عبارة عن متجه الموقع (Position Vector) (r)، وأن المتجه الواصل ما بين (P) و (Q) عبارة عن متجه الإزاحة (Displacement Vector)، فإن:
𝒅𝒓 = 𝒗.𝒅t
والأن يمكننا إيجاد مساحة المثلث من خلال العلاقة الآتية:
𝒅A = ½ |𝒂 × 𝒃|
ما بين المتجهين (𝒓) و (𝒗.𝒅𝒕) (أنظر الى الشكل في الاسفل)، فنكتب الآتي:
𝒅𝑨 = ½ |𝒓 × 𝒗 𝒅t|
يمكننا كتابة السرعة بالإستعانة بعلاقة الزخم، كالآتي:
𝒗 = P/𝒎
فنكتب:
𝒅𝑨 = 1/(2𝒎) |𝒓 × 𝑷| 𝒅t
وبقسمة الطرفين على (𝒅t):
𝒅𝑨/𝒅t = 1/(2𝒎) |𝒓 × 𝑷|
لاحظ أن:
𝑳 = |𝒓 × P|
وهي عبارة عن الزخم الزاوي (The Angular Momentum)، فنكتب الآتي:
𝒅𝑨/𝒅t = 𝑳 /(2𝒎)
وبما أن الزخم الزاوي محفوظ، بالتالي فإن المعدل الزمني للتغير في المساحة ثابت، وهذا يثبت صحة قانون كيبلر الثاني.
※ في الجزء القادم من هذا المقال سنتحدث عن إثبات اخر لهذا القانون بطريقة مغايرة، إبقوا معنا.
※ نتشرف بمتابعتكم لنا على اليوتيوب عنوان القناة في التعليقات.
By: A Monaem Albustanji
290 views𝑨𝒃𝒐 𝒂𝒍𝒆𝒙𝒚, 17:41
𝑴
